ТЕКСТ ДЛЯ ЧТЕНИЯ

1. Понятие обыкновенной дроби 

Возьмём 1 (единицу) и разделим её на три равные части (рисунок 4.1). Одна третья часть единицы – это дробь  (одна третья). Две третьих части единицы – это дробь  (две третьих). Три третьих части единицы – это дробь  (три третьих).  

Рисунок 4.1

Числа – это обыкновенные дроби. 

Запись вида  – это обыкновенная дробь. 

Число p – это числитель дроби. Число p стоит над чертой. 

Число q – это знаменатель дроби. Число q стоит под чертой. 

Черта дроби – это знак деления числителя на знаменатель. 

Знаменатель дроби показывает, на сколько частей мы разделили число один (единицу). Числитель дроби показывает, сколько частей мы взяли. Поэтому, чтобы получить число  из числа один, надо разделить число один на q равных частей и взять p таких частей. 

Любое число – это дробь, у которой знаменатель равен числу один:  

Запомните, как читать порядковые числительные!

	Какой? (м.р.)	Какая? (ж.р.)	Какое? (ср.р.)	Какие? (мн.ч.)	Каких? (мн.ч., II)
1	Первый	Первая	Первое	Первые	Первых
2	Второй	Вторая	Второе	Вторые	Вторых
3	Третий	Третья	Третье	Третьи	Третьих
4	Четвёртый	Четвёртая	Четвёртое	Четвёртые	Четвёртых
5	Пятый	Пятая	Пятое	Пятые	Пятых
6	Шестой	Шестая	Шестое	Шестые	Шестых
7	Седьмой	Седьмая	Седьмое	Седьмые	Седьмых
10	Десятый	Десятая	Десятое	Десятые	Десятых
20	Двадцатый	Двадцатая	Двадцатое	Двадцатые	Двадцатых
21	Двадцать первый	Двадцать первая	Двадцать первое	Двадцать первые	Двадцать первых
30	Тридцатый	Тридцатая	Тридцатое	Тридцатые	Тридцатых
40	Сороковой	Сороковая	Сороковое	Сороковые	Сороковых
50	Пятидесятый	Пятидесятая	Пятидесятое	Пятидесятые	Пятидесятых
52	Пятьдесят второй	Пятьдесят вторая	Пятьдесят второе	Пятьдесят вторые	Пятьдесят вторых
100	Сотый	Сотая	Сотое	Сотые	Сотых
200	Двухсотый	Двухсотая	Двухсотое	Двухсотые	Двухсотых
1000	Тысячный	Тысячная	Тысячное	Тысячные	Тысячных

Запомните!

Запомните, как читать обыкновенные дроби! 

– одна вторая	– две третьих	– семь двенадцатых
– одна третья	– пять вторых	– восемь девятнадцатых
– одна четвёртая	– три пятых	– тридцать одна сотая
– одна пятая	– три четвёртых	– одиннадцать  семьдесят первых
– одна шестая	– четыре седьмых
– одна седьмая	– девять десятых	– шестьдесят одна    двести вторая
– одна восьмая	– шесть одиннадцатых
– одна девятая	– пять двадцать первых	– сорок две пятьдесят пятых
– одна десятая	– одна сорок вторая

 

2. Правильные, неправильные и смешанные дроби 

Правильная дробь– это дробь, у которой числитель меньше, чем знаменатель. Число  – это правильная дробь, так как числитель 2 меньше, чем знаменатель 5. 

Неправильная дробь – это дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю. Число  – это неправильная дробь, так как числитель 5 больше, чем знаменатель 2. Число  – это тоже неправильная дробь, так как числитель 2 равен знаменателю 2. 

Пример.  – это правильные дроби. 

  – это неправильные дроби. 

Запомните, как читать целые части! 

1 – одна целая	2 – две 3 – три 4 – четыре                     целых  ... 20 – двадцать ...
21 – двадцать 31 – тридцать                  одна целая  41 – сорок ...	22 43                                   целых  64 ...

Запомните, как читать смешанные дроби! 

– одна целая, одна вторая	– шесть целых, две третьих
– две целых, одна третья	– одна целая, пять двенадцатых
– три целых, одна четвёртая	– сорок две целых, три пятых
– четыре целых, две пятых	– восемь целых, три четвёртых
– пять целых, пять шестых	– семь целых, четыре седьмых
– одиннадцать целых, одна седьмая	– четырнадцать целых,              девять десятых
– двадцать одна целая, одна восьмая	– шестьдесят девять целых,             шесть одиннадцатых
– двенадцать целых, две девятых	– девять целых,           пять двадцать седьмых
– девятнадцать целых,                тридцать одна сотая	– десять целых,             одна сорок вторая
– дробь, в числителе 15 – 4 · 3, в знаменателе 4 : 2
– дробь, в числителе x + y, в знаменателе a – b

Неправильную дробь  можно записать так:       

 

 – это смешанная дробь. Смешанная дробь имеет две части: 8 – это целая часть,  – это дробная часть. 

Неправильные дроби можно записать как смешанные: 

Смешанную дробь  можно записать так:

Смешанные дроби можно записать как неправильные: 

 

3. Основное свойство дроби 

Если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же число, то получится дробь, которая равна данной дроби:  

С помощью основного свойства для любой дроби можно записать сколько угодно дробей, которые ей равны. Например,  или . Дроби  определяют одно и то же число, которое записано в разных формах. 

Основное свойство дроби можно записать в обратном порядке: 

 

 

4. Сокращение дробей 

Основное свойство дроби можно использовать, чтобы сократить дробь. 

Сократить дробь – это значит числитель и знаменатель дроби разделить на общий множитель, который не равен единице. При этом получится дробь, которая равна данной дроби. 

Если дробь  можно сократить, то это сократимая дробь. 

Если числитель и знаменатель дроби  не имеют общих простых делителей, то дробь  – это несократимая дробь. 

Рассмотрим дробь . Её можно сократить на 5. 

– это сократимая дробь,  – это несократимая дробь. 

– это сократимые дроби,  – это несократимые дроби. 

 

5. Приведение дробей к наименьшему общему знаменателю 

Дроби  имеют одинаковые знаменатели, то есть они имеют общий знаменатель. Дроби  имеют разные знаменатели. Но их можно привести к общему знаменателю с помощью основного свойства дроби. Для этого надо найти число, которое делится на 8 и на 3. Например, 24. Приведём дроби к общему знаменателю 24. Для этого надо умножить числитель и знаменатель дроби  на дополнительный множитель 3 (24 : 8 = 3). Дополнительный множитель для дроби  равен 8 (24 : 3 = 8). Получим: 

Чаще всего дроби приводят к наименьшему общему знаменателю (НОЗ). Наименьший общий знаменатель равен наименьшему общему кратному (НОК) знаменателей данных дробей. 

Пример. Приведём дроби  к наименьшему общему знаменателю. 

Найдём НОЗ(12; 18) = НОК(12; 18). 12 = 2 · 2 · 3, 18 = 2 · 3 · 3 ⇒ НОЗ(12; 18) = 2 · 2 · 3 · 3 = 36. Дополнительный множитель дроби  – это 3, так как 36 : 12 = 3. Дополнительный множитель дроби  – это 2, так как 36 : 18 = 2. Следовательно,  

 

6. Сравнение дробей 

1. Если знаменатели дробей одинаковые, то больше та дробь, у которой числитель больше. 

2. Если числители дробей одинаковые, то больше та дробь, у которой знаменатель меньше. 

3. Если у дробей числители и знаменатели разные, то сначала дроби надо привести к наименьшему общему знаменателю, а потом сравнить. 

Пример. Сравним дроби  

Правильная дробь меньше 1 (единицы), а неправильная дробь больше или равна 1 (единице). 

 

7. Сложение и вычитание обыкновенных дробей 

Чтобы сложить (вычесть) дроби с общим знаменателем, надо сложить (вычесть) их числители, а знаменатель оставить без изменений. 

Например,  

Чтобы сложить (вычесть) дроби с разными знаменателями, надо сначала привести дроби к общему знаменателю, а затем сложить (вычесть) их числители и записать общий знаменатель. 

Например,  

Чтобы сложить (вычесть) смешанные дроби, надо сложить (вычесть) целые части, затем сложить (вычесть) дробные части и полученные результаты сложить. 

Например,  

 

 

8. Умножение и деление обыкновенных дробей 

Чтобы умножить число на дробь, надо числитель дроби умножить на это число, а знаменатель оставить без изменения. 

Пример.  

Произведение двух дробей равно дроби, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель – произведению знаменателей этих дробей:  

Пример.  

Дробь  – это число, обратное для дроби . Числа  и  – это взаимно обратные числа. Взаимно обратные числа – это числа, произведение которых равно единице. 

Пример. и  – это взаимно обратные числа, так как  

Чтобы разделить дробь на дробь, надо делимое умножить на дробь, обратную делителю. 

Пример.  

При умножении и делении смешанных дробей удобно сначала записать их в виде неправильных дробей. 

Пример.